Иррациональные функции. Графический способ решения иррациональных уравнений. формат функции корень Свойства степенной функции с показателем a
Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:
- поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
- четность и нечетность;
- промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
- наклонные и горизонтальные асимптоты;
- особые точки функций;
- особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).
Если Вас интересует или , то можете перейти к этим разделам теории.
Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Навигация по странице.
Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 , y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Свойства постоянной функции.
- Область определения: все множество действительных чисел.
- Постоянная функция является четной.
- Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
- Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
- Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
Корень n -ой степени.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n -ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций 
и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.
Свойства функции корень n -ой степени при четных n .
Корень n -ой степени, n - нечетное число.
Функция корень n
-ой степени с нечетным показателем корня n
определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций 
и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.
При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .
Степенная функция.
Степенная функция задается формулой вида .
Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.
Степенная функция с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
Степенная функция с четным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .
В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .
Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .
На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность , графиком которой является гипербола .
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.
Степенная функция с четным отрицательным показателем.
Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,… .
На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.
Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.
Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a , причем .
Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).
Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.
Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a , причем .
Приведем графики степенных функций, заданных формулами 
(черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).
При других значениях показателя степени a , графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при .
Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.
Обратите внимание!
Если a
- отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал 
. При этом оговариваются, что показатель степени a
– несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Переходим к степенной функции , кгода .
Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций 
(черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).
Свойства степенной функции с показателем a , .
Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.
Приведем примеры графиков степенных функций при 
, они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.
Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.
При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0 0 условились не придавать никакого значения).
Показательная функция.
Одной из основных элементарных функций является показательная функция.
График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а . Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .
Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .
В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.
Свойства показательной функции с основанием большим единицы.
Логарифмическая функция.
Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а .
Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график . В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций .
Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики . Графики для чайников? Можно сказать и так.
По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление :
Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!
Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту , демо-версию можно посмотреть . Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта!
И сразу начинаем:
Как правильно построить координатные оси?
На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.
Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей .
Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.
Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат :
1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс , а ось – осью ординат . Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво . Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.
2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси .
3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички . При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше
НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям . Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку.
Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа . Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка.
Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.
К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым.
Дополнительно : вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов , подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства .
Трехмерный случай
Здесь почти всё так же.
1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов.
2) Подписываем оси.
3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – в два раза меньше, чем масштаб по другим осям . Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше) . С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат.
При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу
1 единица = 2 клетки (чертеж слева).
Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.
Графики и основные свойства элементарных функций
Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую . Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.
Пример 1
Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.
Если , то
Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.
Если , то
При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:
А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.
Две точки найдены, выполним чертеж:
При оформлении чертежа всегда подписываем графики
.
Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:
Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа
. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками.
1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.
2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».
3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».
Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .
Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.
Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости .
График квадратичной, кубической функции, график многочлена
Парабола. График квадратичной функции 
() представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:
Вспоминаем некоторые свойства функции .
Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции . А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:
Таким образом, вершина находится в точке
Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция 
– не является чётной
, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.
В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:
Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой.
Выполним чертеж:
Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:
Для квадратичной функции 
() справедливо следующее:
Если , то ветви параболы направлены вверх .
Если , то ветви параболы направлены вниз .
Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола .
Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:
Перечислим основные свойства функции
График функции
Он представляет собой одну из ветвей параболы . Выполним чертеж:
Основные свойства функции :
В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .
Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой .
Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу .
Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .
Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.
Функция является нечётной
, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: 
.
График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы .
Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).
Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях .
Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков .
Пример 3
Построить правую ветвь гиперболы
Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:
Выполним чертеж:
Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.
Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола .
График показательной функции
В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.
Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:
График функции пока оставим в покое, о нём позже.
Основные свойства функции :
Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д.
Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.
График логарифмической функции
Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:
Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.
Основные свойства функции :
Область определения
: 
Область значений: .
Функция не ограничена сверху: 
, пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: 
. Таким образом, ось является вертикальной асимптотой
для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.
Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма : .
Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.
Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость.
В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции . Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.
Графики тригонометрических функций
С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса
Построим график функции
Данная линия называется синусоидой .
Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.
Основные свойства функции :
Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.
Область определения : , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.
Область значений: . Функция является ограниченной
: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое числовая функция и какие необходимо знать и уметь исследовать.
Что такое числовая функция ? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.
Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией.
Множество Х называется областью определения функции.
Множество Y называется множеством значений значений функции.
Равенство называется уравнением функции. В этом уравнении - независимая переменная, или аргумент функции. - зависимая переменная.
Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то получим график функции. График функции - это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.
Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя мы можем построить ее график.
Основные свойства функций.
1. Область определения функции.
Область определения функции D(y) -это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции имеет смысл. Другими словами, это выражения .
Чтобы по графику функции найти ее область определения, н ужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ , записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.
2. Множество значений функции.
Множество значений функции Е(y) - это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.
Чтобы по графику функции найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.
3. Нули функции.
Нули функции - это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.
Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение . Корни этого уравнения и будут нулями функции .
Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции .
4. Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции - это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть или .
Чтобы найти , нужно решить неравенства и .
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции по ее графику, нужно
5. Промежутки монотонности функции.
Промежутки монотонности функции - это такие промежутки значений аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.
Говорят, что функция
возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента
, принадлежащих промежутку I таких, что
выполняется соотношение:
.
Другими словами, функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.
Говорят, что функция
убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента
, принадлежащих промежутку I таких, что
выполняется соотношение: 
.
Другими словами, функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.
6. Точки максимума и минимума функции.
Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:
.
Графически это означает что точка с абсциссой x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).
Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:
Графически это означает что точка с абсциссой лежит ниже других точек из окрестности I графика функции .
Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.
7. Четность (нечетность) функции.
Функция называется четной, если выполняются два условия:
Другими словами, область определения четной функции симметрична относительно начала координат.
б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение 
.
Функция называется нечетной, если выполняются два условия:
а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.
